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19世纪70年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。
第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。
通过元语言，也可公理系统中各公理之间的相容性和独立性，例如Cohen于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究也持续发展。
数学集合r表示什么
按名册征集。
读音：[diǎnjí]。
宋司马光《论屈野河西修堡状》：“若乘此际急于州西二十里左右增置二堡，每堡不过十日可成，比至虏中再行点集，此堡已皆有备，不能为害。”宋沉括《梦溪笔谈·故事一》：“优伶并开封府点集。”
在数学当中叫做点的集合。如：点用(x,y)表示。许多的点放在一起就组合成了点集。而{(1,1),(1,-5),(a,b),?,(-2,-3)}指(1,1),(1,-5),(a,b),?,(-2,-3)这些点放在一起组成的集合。
数学集合r表示实数集。
一、实数集简介
在数学中，R代表实数集。因为实数的英文单词是real number，所以实数集用R表示；实数可以直观地看作是有限小数和无限小数、实数和数轴上的点的一一对应关系，但实数的整体不能仅仅通过枚举来描述。
实数集通俗地说就是实数的集合，通常包含所有有理数和无理数，18世纪微积分是在实数的基础上发展起来的。但当时并没有实数集的精确定义。直到1871年，德国数学家康托尔首次提出了实数的严格定义。任何有上界的非空集（包含在R中）一定有上界。
二、实数集分类?
实数可以用两种不同的方式细分为两种类型：第一、按照有理数和无理数。第二、按照代数数和超越数。康托尔证明了，即使是代数数这一类（它们远比有理数更加一般），它们依然跟整数有一样的势。这里可能有一个错误：代数数集合不是可数集合。
实数集的加法定理、乘法定理和完备公理：
1、加法定理
对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R；加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）；加法有交换律，a+b=b+a；加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。
2、乘法定理
对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；乘法有交换律，a·b=b·a；乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；乘法对加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。
3、完备公理
任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x<y，那么必存在c属于R，使得对任何x属于A，y属于B，都有x<c<y。符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。
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